... / ЛМШ "Kostroma Open" / ЛМШ-2019 (август) / ...

Летняя математическая школа
"Kostroma Open 2019. Август"

Лекторий 9-10 класса

• Коники (1), (2) и (3)
  (Владимир Шастин)

  Миникурс про коники (кривые второго порядка) и проективную геометрию.

  На первой лекции даны определе ния коник и доказаны некоторые их геометрические свойства.

  На второй лекции показано, что определенные в первой лекции кривые получаются как сечения конуса плоскостями, а также изучены еще несколько замечательных свойств этих кривых.

  Третья лекция: коника дает возможность заменять точки на прямые, а прямые на точки.

• Замощение подобными прямоугольниками (1) и (2)
  (Павел Рябов)

  Задача про замощение фигур подобными прямоугольниками довольно сложная и, разумеется, в настолько общей форме не решается. Однако, эта тема является очень интересной для исследования (например, в качестве курсовой) и относительно современна. Сегодня я расскажу о том, какие прямоугольники возможно замостить квадратами и попытаюсь ответить на обратный вопрос: на какие прямоугольники, подобные данному, возможно разделить квадрат. Как мы увидим, в некоторых случая разбиение совсем не очевидно и тем более доказательство невозможности разбиения.

  На второй лекции показано, какие прямоугольники можно разбить на прямоугольники с отношениями сторон из набора a_i+b_iq, q² - простое так, чтобы для каждого числа из набора в разбиении нашёлся бы прямоугольник с таким отношением сторон. Кратко показаны схожие проблемы в этой области.

• Кватернионы, повороты пространства и правильные многогранники (1) и (2)
  (Игнат Романов)

  Кватернионы являются, в некотором смысле, более общим аналогом комплексных чисел. Они получаются добавлением к вещественным числам не одной, а трех мнимых единиц. При этом частью привычных нам свойств, например, коммутативностью умножения, приходится жертвовать. Но как комплексные числа связаны с геометрией на плоскости, так же и (вообще-то говоря четырехмерные кватернионы) оказываются связаны с геометрией трехмерного пространства. На лекциях показана эта связь. С ее помощью мы научились на основе правильных трехмерных многогранников строить четырехмерные правильные многогранники.

• Теорема Форда-Фалкерсона
  (Дмитрий Трущин)

  Транспортная задача Форда-Фалкерсона является одной из классических задач теории алгоритмов. Особый интерес к задаче привлекает то, что она имеет широкое применение в самых разных областях - от перевозки реальных грузов до создания электрических сетей. На первой из двух лекций только доказана теорема, но и выведены из нее несколько классических теорем теории графов.

• Узлы и их инварианты
  (Михаил Федоров)

  Все мы встречаем узлы. Причем запутать узел можно по-разному. Но некоторые узлы хоть и выглядят по-разному могут оказаться «одинаковыми». Как сравнить произвольные два узла?

• Конечная геометрия
  (Ольга Манжина)

  Какой могла бы быть геометрия, если бы в мире не было континуума? Показана пара примеров того, чем может быть это полезно нам. Лекция для тех, кто устал от непрерывности вокруг.

• Игрушечная теория игр (1) и (2)
  (Игнат Романов)

  Если открыть какой-нибудь учебник по теории игр, то мы столкнемся с большим количеством терминов из самых разных областей математики, далеко не всегда известных школьнику. Новые понятия, даже если они не сложные, все равно, затрудняют чтение. А научно-популярная литература обьясняет понятно, но слишком уж "популярная". В рамках данного курса мы попробуем перекинуть мостик от одного к другому и постараемся разобрать основы теории игр на достаточном уровне строгости (с использованием разных страшных слов), но не теряя при этом ясности изложения.

• Стереографическая проекция
  (Владимир Шастин)

  На лекции рассказано о замечательной геометрической конструкции, которая позволяет отождествить плоскость с бесконечно удаленной точкой со сферой. Оказывается это отождествление приводит к новой геометрии на расширенной плоскости, в которой инверсии и гомотетии — это движения. Знание материала лекций про коники приветствуется, но не обязательно.

• Конечные поля
  (Евгений Жуков)

  Теория полей из конечного числа элементов – это классический и глубоко разработанный раздел алгебры. На лекции мы познакомимся с понятием поля, узнаем, что множество остатков по простому модулю является полем, а также научимся строить некоторые новые поля.

• Суммы степеней последовательных чисел
  (Григорий Мерзон)

  Всем известна формула для суммы 1+2+...+n. Многие еще видели формулы для сумм 1²+2²+...+n² и 1³+2³+...+n³ и вообще знают, что «любую формулу такого рода можно доказать по индукции». Но история про суммы степеней на этом совершенно не заканчивается. О том, куда двигаться дальше, и поговорим. От слушателей ожидается, что они умеют раскрывать скобки и доказывать формулы по индукции. Никаких особых предв. знаний не требуется.

• Площади и объемы (лекция для 8 классов)
  (Григорий Мерзон)

  Поговорим про то, как вычислить площади и объемы разных фигур. В числе прочего планируется обсудить соображения размерности и принцип Кавальери, велосипедную теорему Мамикона и ее связь с теоремой Пифагора, площадь сферы и проекцию Ламберта.

• О кодировании
  (Ольга Агаханова)

  Дадим математическое определение кодирования, свойства, рассмотрим примеры. В общих чертах обсудим помехоустойчивое кодирование.

• Фракталы
  (Людмила Смирнова)

  Рассказано в т.ч. о том, что такое дробная размерность.

• Одно нетривиальное применение интерполяционных многочленов
  (Лаврентин Арутюнян)

  Одно поразительное и малоизвестное применение интерполяционного многочлена

• Проекции в пространстве
  (Владимир Шастин)
• Хроматические числа (1) и (2)
  (Дмитрий Трущин)
• Аксиоматика. Геометрия Лобачевского
  (Вячеслав Пирогов)

© Д.А. Калинин, 2019, разработка, дизайн