МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ
В КОСТРОМЕ

Математические соревнования / Устная олимпиада 5-7 классов / Олимпиада "Открытие 2014" / ...

УО-2012
УО-2012
УО-2012
УО-2012
УО-2012
УО-2012
УО-2012
УО-2012
УО-2012

Устная олимпиада "Открытие"
5-7 класс (май 2014 года)

Задачи

УО-2012 Задача 1. Столбовые шашки

  • Первоначально на каждом поле доски стоит шашка (иначе говоря, столбик из одной шашки). Очередным ходом можно взять любой столбик и прыгнуть им (в пределах доски) по горизонтали или вертикали на столько клеток, сколько в нём шашек. Например, столбик из одной шашки может прыгнуть только на соседнюю клетку. Если при этом столбик попадёт на непустую клетку, он становится на стоящий там столбик и объединяется с ним.
  • Цель — собрать все шашки в одной клетке доски.
  • 1.1. Соберите на доске 1×6 все шашки в один столбик.
  • 1.2. Соберите на доске 1×6 все шашки в один столбик на крайней клетке.
  • 1.3. Соберите на доске 1×20 все шашки в один столбик на крайней клетке за 19 ходов.
  • 1.4. Докажите, что на доске 1×20 все шашки можно собрать в один столбик на любой клетке доски за 19 ходов.
  • 1.5. Докажите, что на доске 5×5 цель достижима не менее чем за 24 хода.
  • 1.6. Докажите, что на доске 5×5 цель достижима не менее чем за 25 ходов.
  • 1.7. За какое наименьшее число ходов можно достигнуть цели на доске 5×5?

УО-2012 Задача 2. Выстроить ладьи

  • На доске n×n стоит n ладей. За один ход любую ладью можно переместить на любую свободную клетку в ее столбце или строке, не перепрыгивая при этом через другие ладьи.
  • Цель — расставить ладьи так, чтобы они не били друг друга. Будем выяснять, какого наименьшего количества ходов достаточно для достижения этой цели.
  • 2.1. На доске 6×6 стоят 6 ладей, образуя в углу прямоугольник 2×3. Как достигнуть цели за 7 ходов?
  • 2.2. На доске 9×9 стоят 9 ладей. Как достигнуть поставленной цели, сделав не более 36-ти ходов?
  • Пару ладей назовём соседними, если они бьют друг друга, а «сложностью» расстановки ладей — количество пар соседних ладей.
  • 2.3. Докажите, что за один ход сложность расстановки либо не меняется, либо меняется не более чем на 1.
  • 2.4. За какое наименьшее количество ходов из расстановки, показанной на рисунке справа, можно достигнуть цели?
  • 2.5. На доске n×n ладьи стоят так, что есть свободная строка и есть свободный столбец. Как выбрать такую ладью, что её ход на свободную линию уменьшит сложность расстановки?
  • 2.6. На доске n×n стоят n ладей так, что есть свободная строка, но нет свободных столбцов. Докажите, что на свободную строку можно сдвинуть ладью так, что уменьшится сложность расстановки.
  • 2.7. Докажите, что если сложность расстановки ладей равна S, то минимальное число ходов для достижения цели равно S.

Задача 3. Решить тест

  • Тестовый тур олимпиады состоит из нескольких вопросов, на каждый надо ответить «да» или «нет». За одну попытку можно ответить на все вопросы, после чего сообщают, на сколько вопросов отвечено верно.
  • Цель — правильно ответить на все вопросы после нескольких попыток.
  • 3.1. Пусть в олимпиаде 5 вопросов, причём известно, что среди них ровно два верных ответа «нет». Как достигнуть цели за 10 попыток?
  • 3.2. Пусть в олимпиаде 5 вопросов, но про верные ответы ничего не известно. Как достигнуть цели за 11 попыток?
  • 3.3. Пусть в олимпиаде 10 вопросов, причём известно, что среди верных ответов ровно три ответа «нет». Как достигнуть цели за 11 попыток?
  • 3.4. Пусть в олимпиаде 10 вопросов, причём известно, что среди верных ответов ровно три ответа «нет». Как достигнуть цели за 10 попыток?
  • 3.5. Пусть в олимпиаде 5 вопросов. Как достигнуть цели за 5 попыток?
  • 3.6. Пусть в олимпиаде 30 вопросов. Как за 5 попыток узнать верные ответы в первых пяти вопросах?
  • 3.7. Пусть в олимпиаде 30 вопросов, но про верные ответы ничего не известно. Как достигнуть цели за 25 попыток?

© Д.А. Калинин, 2005, разработка, дизайн