МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ
В КОСТРОМЕ

Математические соревнования / ЛМШ "Kostroma Open" / ЛМШ-2011 / ...

Летняя математическая школа
"Kostroma Open 2011"

Программа 9-10 класса

Группа 1

  • Многочлены: корни и значения, делимость многочленов и теорема Безу, теорема Виета и симметрические многочлены, поля в примитивном изложении, задачи на сопряжение.
  • Неравенства: неравенство Коши, транснеравенство.
  • Теория чисел: малая теорема Ферма.
  • Геометрия: теорема Чевы, теорема Менелая, параллельный перенос, осевая симметрия, центральная симметрия, задачи на композицию преобразований.

Группа 2

  • Теория чисел: арифметика остатков, число делителей, задачи на делимость.
  • Графы: задачи с использованием графов, деревья.
  • Метод математической индукции: стартовые задачи, задачи «на формулы».
  • Неравенства: неравенство Коши.
  • Геометрия: теорема Пифагора, ГМТ, вписанная окружность, степень точки относительно окружности, вписанные углы, подобные треугольники, касательная к окружности, высоты треугольника.

Третьими парами было два лектория. Первый назывался "Школьникам о математике", на нём были рассмотрены темы: комплексные числа, постулат Бертрана, умножение матриц, парадоксы теории вероятности, неравенство Мюрхеда, уравнение Пелля, векторные поля, теорема Сильвестра-Галлаи.

На лектории "В помощь школьнику" были следующие вопросы: векторы, метод координат, геометрия масс, прогрессии, соображения непрерывности, текстовые задачи (по материалам ЕГЭ), производная, линейные диофантовы уравнения.

 

Программа 8 класса

Ниже — список теоретических вопросов к зачёту группы 1. В группе 2 часть вопросов не рассматривалась. Помимо этого, на третьих парах были лекции по другим темам (например, по наглядной топологии, по разным вопросам теории графов, ликбез по олимпиадным темам для группы 2).

  • Свойства параболы. Симметричность, минимум (максимум), возрастание (убывание), выпуклость. Уравнение касательной. Построение касательной к параболе.
  • Рациональные и иррациональные числа. Определения, примеры. На любом отрезке числовой прямой есть как рациональные, так и иррациональные числа. Теорема Кронекера.
  • Условия, при которых можно делить остатки. Деление остатков по простому модулю. Решение уравнения ax = b в остатках. Малая теорема Ферма.
  • Определение конечной аффинной плоскости. Число точек и прямых на такой плоскости, её порядок. Примеры плоскостей порядка 3, 4. Связь с головоломками Эйлера.
  • Построение конечной аффинной плоскости порядка p. Пример для p = 5.
  • Определения латинских и магических квадратов p х p. Построение латинского квадрата, ортогональных латинских квадратов. Построение магического квадрата, его связь с теорией кодирования.
  • Определения движений плоскости «из списка». Примеры использования в задачах на построение. Задачи о вписанном треугольнике минимального периметра. Точка Торричелли.
  • Разложение движений «из списка» в композицию осевых симметрий. Композиции поворотов и других пар движений. Теорема Шаля. Задача Наполеона.
  • Величина вписанного, вневписанного и внутривписанного угла. Критерий вписанности четырехугольника в окружность. Примеры. Задача о высотах и биссектрисах.
  • Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей и радикальный центр трёх окружностей. Примеры. Теорема Брианшона.
  • Ориентированные углы. Теорема Фусса. Точка Микеля. Задача об общей касательной.
  • Неравенство Мюирхеда. Примеры.
  • Пять определений биномиальных коэффициентов и их равносильность. Доказательства различных тождеств. Свёртка Вандермонда.
  • Телескопическое суммирование и вычисление сумм чисел Фибоначчи (первых n чисел, первых n на четных местах, на нечетных местах). Задача о прыгуне и комбинаторное доказательство тождества um+n = um–1un + umun+1.
  • Параллельные алгоритмы Евклида. Доказательство формул разных формул (например, для НОДа двух чисел Фибоначчи).

© Д.А. Калинин, 2005, разработка, дизайн
Вопросы Web-мастеру