|
|
Летняя математическая школа
"Kostroma Open 2011"
Программа 9-10 класса
Группа 1
- Многочлены: корни и значения, делимость многочленов и теорема Безу,
теорема Виета и симметрические многочлены, поля в примитивном изложении,
задачи на сопряжение.
- Неравенства: неравенство Коши, транснеравенство.
- Теория чисел: малая теорема Ферма.
- Геометрия: теорема Чевы, теорема Менелая, параллельный перенос,
осевая симметрия, центральная симметрия, задачи на композицию преобразований.
Группа 2
- Теория чисел: арифметика остатков, число делителей, задачи на делимость.
- Графы: задачи с использованием графов, деревья.
- Метод математической индукции: стартовые задачи, задачи «на формулы».
- Неравенства: неравенство Коши.
- Геометрия: теорема Пифагора, ГМТ, вписанная окружность,
степень точки относительно окружности, вписанные углы, подобные треугольники,
касательная к окружности, высоты треугольника.
Третьими парами было два лектория. Первый назывался "Школьникам о математике",
на нём были рассмотрены темы: комплексные числа, постулат Бертрана, умножение матриц,
парадоксы теории вероятности, неравенство Мюрхеда, уравнение Пелля, векторные поля,
теорема Сильвестра-Галлаи.
На лектории "В помощь школьнику" были следующие вопросы: векторы, метод координат,
геометрия масс, прогрессии, соображения непрерывности, текстовые задачи (по материалам ЕГЭ),
производная, линейные диофантовы уравнения.
Программа 8 класса
Ниже — список теоретических вопросов к зачёту группы 1.
В группе 2 часть вопросов не рассматривалась.
Помимо этого, на третьих парах были лекции по другим темам
(например, по наглядной топологии, по разным вопросам теории графов,
ликбез по олимпиадным темам для группы 2).
- Свойства параболы. Симметричность, минимум (максимум), возрастание (убывание), выпуклость.
Уравнение касательной. Построение касательной к параболе.
- Рациональные и иррациональные числа. Определения, примеры.
На любом отрезке числовой прямой есть как рациональные, так и иррациональные числа.
Теорема Кронекера.
- Условия, при которых можно делить остатки. Деление остатков по простому модулю.
Решение уравнения ax = b в остатках. Малая теорема Ферма.
- Определение конечной аффинной плоскости. Число точек и прямых на такой плоскости, её порядок.
Примеры плоскостей порядка 3, 4. Связь с головоломками Эйлера.
- Построение конечной аффинной плоскости порядка p. Пример для p = 5.
- Определения латинских и магических квадратов p х p. Построение латинского квадрата,
ортогональных латинских квадратов. Построение магического квадрата, его связь с теорией кодирования.
- Определения движений плоскости «из списка». Примеры использования в задачах на построение.
Задачи о вписанном треугольнике минимального периметра. Точка Торричелли.
- Разложение движений «из списка» в композицию осевых симметрий.
Композиции поворотов и других пар движений. Теорема Шаля. Задача Наполеона.
- Величина вписанного, вневписанного и внутривписанного угла.
Критерий вписанности четырехугольника в окружность. Примеры. Задача о высотах и биссектрисах.
- Степень точки относительно окружности.
Радикальная ось двух окружностей и радикальный центр трёх окружностей. Примеры. Теорема Брианшона.
- Ориентированные углы. Теорема Фусса. Точка Микеля. Задача об общей касательной.
- Неравенство Мюирхеда. Примеры.
- Пять определений биномиальных коэффициентов и их равносильность.
Доказательства различных тождеств. Свёртка Вандермонда.
- Телескопическое суммирование и вычисление сумм чисел Фибоначчи (первых n чисел,
первых n на четных местах, на нечетных местах).
Задача о прыгуне и комбинаторное доказательство тождества um+n = um–1un + umun+1.
- Параллельные алгоритмы Евклида. Доказательство формул разных формул
(например, для НОДа двух чисел Фибоначчи).
|
