МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ
В КОСТРОМЕ

Математические соревнования / Устная олимпиада 5-7 классов / Олимпиада "Открытие 2009" / ...

Организаторы олимпиады:
Д.А.Калинин и программа "Большая Перемена", городской методический центр, гимназия 1 г.Костромы.

УО-2009
УО-2009
УО-2009
УО-2009
УО-2009
УО-2009
УО-2009
УО-2009

Устная олимпиада "Открытие"
5-7 класс (май 2009 года)

Задачи

Задача 1. Всю доску под присмотр!

Чук и Гек придумали игру. На шахматную доску выставляются шахматные кони. Затем каждый конь поворачивается лицом либо вдоль горизонтали, либо вдоль вертикали. Клетка находится под присмотром, если она находится в горизонтали или вертикали, вдоль которой стоит лицом один из коней.
(а) Гек поставил 20 коней. При этом нашлась клетка, не находящаяся под присмотром. Чук повернул одного коня и все клетки стали под присмотром. Приведите пример, как такое могло произойти.
(б) Чук поставил на доску несколько коней. Гек указал на одну свободную клетку и сказал «Чук! Сделай так, чтоб эта клетка не была под присмотром!». Обязательно ли Чук может выполнить просьбу Гека, меняя только направления коней?
(в) Чук как-то расставил 50 коней. Верно ли, что Геку обязательно удастся повернуть коней так, что любая клетка будет под присмотром?
(г) Чук расставил 2N коней, половину из них направил по горизонтали, половину — по вертикали. При этом все поля оказались под присмотром. При каком наименьшем N такое возможно?
(д) Чук и Гек должны поставить на доску 10 коней. Чук ставит коней в клетки и хочет, чтобы без присмотра осталось как можно больше клеток. Гек направляет коней и хочет, чтобы без присмотра осталось как можно меньше клеток. Сколько клеток останется без присмотра в результате?
(е) Чук поставил на доску N коней. Гек заметил, что как не направляй коней, без присмотра может оказаться не более одной клетки. При каком наименьшем N это возможно.

Задача 2. Все на выборы!

В математическом 6А классе выбирают лучшего ученика по итогам учебного года. Учитель назвал четырех кандидатов. Голосованием надо выбрать одного из них. В голосовании принимают участие 25 человек. Каждый избиратель понимает кто из кандидатов в его представлении лучший, кто второй, кто третий и кто четвертый.
(а) Сначала предложили простой способ голосования: пусть каждый опустит бумажку с указанием лучшего на его взгляд кандидата. Побеждает тот, кто получит больше голосов. Какое наименьшее число голосов может набрать победитель при таком голосовании?
(б) Но кандидат Вася сказал, что это не совсем честно, и предложил способ в два тура: если при простом способе никто не наберет более половины голосов, то надо оставить двоих лучших и сделать повторное голосование. Какое наименьшее количество голосов может набрать победитель в первом туре?
(в) Верно ли, что при простом голосовании и голосовании в два тура может оказаться разный победитель?
(г) Кандидат Коля предложил способ с баллами: пусть каждый даст лучшему по его мнению кандидату 3 балла, второму — 2, третьему — 1, четвертому — 0, а победителем станет тот, кто наберет больше баллов. Может ли быть так, что кандидат станет лучшим при способе с баллами, но не выиграет при простом способе голосования?
(д) Может ли кандидат выиграть при простом способе голосования, но стать последним при способе с баллами?
(е) Кандидат Вася назвал своему другу Пете то число баллов, которое он набрал бы при способе с баллами. На это Петя сказал: «Тогда ты точно выиграешь при простом способе голосования!» Какое наименьшее число мог сказать Вася?
(ж) Вася назвал своему другу Роме то число баллов, которое он набрал бы при способе с баллами. На это Рома сказал: «Если будет голосование в два тура и в первом туре никто не выиграет, то ты точно выиграешь во втором туре!» Какое наименьшее число мог сказать Вася?
(з) Может ли оказаться так, что при всех трех способах голосования победители будут разные?

Задача 3. Соберем квадраты!

Аня заполняет ячейки таблицы из двух строчек и N столбцов числами: в первой строке стоят подряд все числа от 1 до N, а во второй строке стоят все числа от 1 до N в некотором порядке. Таблица удачна, если сумма двух чисел в каждом столбце оказалась точным квадратом . Можно ли получить удачную таблицу для
(а) N = 5,
(б) N = 8,
(в) N = 6,
(г) N = 11?
(д) Сколько способов расставить числа при N = 9?
(з) Для каких N не существует удачная таблица?


© М.А. Батин, концепция, 2002
© Д.А. Калинин, 2005, разработка, дизайн
Вопросы Web-мастеру